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디지털 시대가 펼쳐짐으로 유한한 픽셀을 가진 이미지가 보편화됨에 따라
고정촬영의 한계노출값에 대해서도 정량적인 논의를 할 수 있게 되었다.
물론, 이전 필름 시대에서 이러한 접근이 불가능했던 것은 아니나,
인화물의 크기에 따라서 큰 영향을 미칠 뿐만 아니라 보는 사람에 의해서도 주관적이므로,
마땅히 정답이라 부를 수 있는 수치는 단지 경험적인 것이었다.
(물론 엄밀하게 말하자면 필름 입자의 크기를 가지고 이야기할 수도 있었지만)

본론으로 들어가기 전에, 일반화의 한계에 대하여 생각해 볼 필요가 있다.
렌즈에 의한 수차는 전혀 고려하지 않았다.
즉 렌즈는 전 시야 내에서 일정한 초점거리를 갖는 이상적인 렌즈이며(왜곡수차가 없음),
무한대의 이미지는 특정한 PSF를 갖고, 대략 F#2 정도의 구경을 갖는다고 가정한다.
만약 렌즈가 좋지 않아 점광원 자체가 2~3pixel을 넘나들면, 알아서 계산하시라.
(이러한 수차에 대해서는 아래 픽셀 크기를 논의하며 자세히 언급될 것이다)

깔끔하게 결론부터 소개하자면,
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Exposure time (sec) =
여기서  a = 검출기(필름)의 가로 크기 (mm)
 p = 최종 결과물의 가로 해상도
 f = 렌즈의 (물리적인) 초점 거리
 d = 촬영하는 별의 적위값
Arc Tan값 및 cos 값은 degree로 계산되어야 하며, 결과는 초(sec)이다.
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위와 같은 결론은 이제부터 다음 세 가지 주제로 펼쳐진다.
1) 픽셀의 시야각
2) 별의 회전 속도
3) 가시 이동 허용량
픽셀 하나 거리에 대한 한계노출량은 1)값을 2)값으로 나누면 얻어지며,
여기에 3)값을 곱하여 최종 값을 얻는다.



픽셀의 시야각을 구하는 목적은 픽셀 하나 거리에 대한 이미지(별)의 이동 시간을 알아내기 위해서이다.
이를 위해서는 각 픽셀에 해당하는 이미지 거리(pixel size)를 알아야 한다.



여기서 말하는 픽셀(pixel)이란, 보여주려는 최종적인 이미지의 픽셀값을 이야기한다.
따라서 이 값은 촬영된 초기 이미지(raw image)의 해상도와는 전혀 관련이 없다.
이러한 전제를 선택한 이유는, 다음의 몇 가지 이유가 있다.
a) 최근에 개발되는 고해상도 검출기(detector)는 렌즈의 수차 범위 이하에 놓이는 경우가 많다.
약 500만 화소 이상의 검출기는 별 자체가 점광원으로 놓이지 않으며,
이런 경우 한계노출값을 이야기하는 대상이 명확해지지 않는다
(다음 3)의 이미지 가시 허용량에서 다시 다룰 것이다)
b) 대부분 전시(?)되는 사진은 원본 크기를 재조정한 것이며,
웹에서 보기 편하도록 적당히 크기를 조절하여 출판한다.
따라서 가장 마지막의 결과물이 대상이 되어야 한다.
c) 이는 필름 이미지를 스캔하여 웹에 전시하는 사진에도 동일하게 적용할 수 있다.
이로서 위의 공식이 보다 일반화되었음을 알 수 있다.
d) 모든 이미지는 잘라내기(crop)가 아닌 크기(size)조정만 한 것으로 가정한다.
즉 원본 이미지로부터 가감없이 크기만 조정한 것으로 고려해야 한다.
따라서 중앙 잘라내기(crop)을 하기 직전의 이미지 사이즈가 입력되어야 한다.
e) 픽셀 값은 이미지 해상도의 가로에 해당되는 값만을 고려한다.
사진의 원본을 고려하려면 단순히 픽셀 값을 원본 사이즈로 넣으면 된다.



광학계에 의하여 형성되는 이미지의 크기는 광학계의 초점 거리에만 영향을 받는다.
여기서 초점 거리란 렌즈의 물리적인 초점 거리를 의미하며,
35mm 환산 초점거리와는 전혀 관련이 없다
(환산 초점거리에 해당하는 값은 카메라 검출기의 크기와 관련이 있다).
따라서 렌즈의 정보는 초점 거리만이 필요하다.
보통 이미지의 크기는 건판 척도(plate scale)로 나타내며,
지향각과 초점 거리에 의한 이미지의 크기는 간단히 다음과 같은 관계를 갖는다.
l / f = tan(w)
여기서,  l = 이미지 위치(중심으로부터)
 f = 초점 거리
 w = 이미지 입사각
물론 이상적인 렌즈에 의한 값이며, 왜곡 수차가 없는 경우에 한해서이다.
따라서, 초점 거리를 알면 특정 이미지 위치에 대한 이미지 입사각을 알 수 있다.
그러면, 특정 이미지 위치는 어떻게 구하는가?



이미지 결과물의 한 픽셀에 대한 필름에서의 거리를 알아야 한다.
여기서 알아야 되는 것은 당신의 카메라 검출기 크기(a)가 얼마나 되는가이다.
일반적인 35mm 필름은 가로 36mm / 세로 24mm 의 3:2 포맷을 갖는다.
가로에 해당되는 길이는 36mm이며, 하나의 픽셀에 해당되는 값은 36/p(mm/pixel) 값이다.
당신의 카메라 검출기가 1:1 포맷(Canon 계열)이라면
36mm값을 그대로 사용하면 되고,
2/3포맷(Nikon 계열)인 경우 36*(2/3)을 사용하면 된다.
이와 다른 카메라를 사용하는 경우 환산초점거리에 해당하는 비율을 36mm로부터 나누어주면 된다.
이로서, 카메라 검출기 가로 크기(a)를 가로 픽셀 총 개수(p)로 나누면
한 픽셀에 대한 가로 크기가 나온다. (l = a/p)



픽셀 하나에 대한 시야각 w는 이미지 입사각에 해당하는 값이며, 다음과 같이 계산된다.
정확도를 높이기 위하여 반 픽셀 크기의 두 배 되는 값으로 계산하였으며,
카메라 검출기 크기(a)와 픽셀 개수(p)에 대한 식으로 다시 정리하면 다음과 같다.
(deg)

천구에서 별이 일주운동하는 속도는 별의 적위에 따라 다르다.
이는 별의 총 궤적을 24시간으로 나누면 단위 시간당 이동량이 나온다.
총 궤적은 적위값에 해당되는 원궤도의 둘레 길이이며, 이는 다음과 같다.

단위 시간 24시간에 해당되는 속도는 r/24h이며, 360도에 해당하는 값은 다음과 같다.
 (deg/sec)



마지막으로, 과연 이미지 평면에서 별이 얼마만큼 이동한 것을 허용할 것인가라는 문제가 남아 있다.
위에서 계산한 수치는 단위 픽셀의 시야각과 이동 속도이며, 시야각을 속도로 나누어 이동 시간을 계산할 수 있지만
과연 얼마만큼 이동된 별의 이미지를 점상(point image)이라고 간주할 수 있는가?

엄밀하게 말하자면, 이러한 이미지 이동에 따른 성능 저하량은 광검출기의 MTF(변조전달함수)값으로 표현할 수 있다.
MTF값은 광학계의 수차 및 검출기 MTF, 노이즈 등의 영향을 받으며,
이미지 보정처리(sharpening)로도 값을 향상시킬 수 있다.
그러나 이러한 논의는 MTF 목표값에 대한 또 다른 쟁점을 가져오며(과연 MTF값의 어느 정도가 깔끔한 이미지인가)
천체사진(특히 고정촬영)이 추구하려는 목적과도 약간의 거리가 있다.
왜냐하면 기존 MTF 정의에 따르면 2개의 픽셀에 해당하는 나이퀴스트 주파수(nyquist frequency)관점에서
촬영 중 이미지가 한 픽셀만큼 이동하면 MTF값은 0이 되기 때문이다
(이에 따르면 촬영 도중 픽셀을 벗어나는 이동은 절대 용납되지 않는다).

반면에, 실제 촬영된 사진을 보면 한 픽셀 이동된 천체 이미지는 보기에 크게 손색이 없다.
여기서부터 다분히 주관적인 의견이 추가된다.
특히 모니터 크기 및 모니터와 눈의 거리 등에 따른 느낌이 많이 차이나는 것이 사실이다.
개인적으로 의견을 제시하자면 약 1.3픽셀 이동량에 대해서도 큰 무리가 없어 보인다.
하지만, 이 수치는 보는 취향에 따라 달라지고,
성운 은하등의 세부적인 모습을 보고 싶은 경우에는 1 이하의 수치를 주어야 할 것이다.

아래에 다음 조건에 대한 별의 적위별 촬영 가능 시각을 계산한 값을 제시하였다.
(나의 카메라 장비 및 블로그 최대 해상도(720)에 해당함)

Nikon D200 50mm standard		Nikon D200 18-200mm zoom		Nikon D200 18-200mm zoom		Nikon D200 18-200mm zoom
a =	24 (mm)	a =	24 (mm)	a =	24 (mm)	a =	24 (mm)
p =	720 (pixel)	p =	720 (pixel)	p =	720 (pixel)	p =	720 (pixel)
f =	50 (mm)	f =	18 (mm)	f =	105 (mm)	f =	200 (mm)
Factor =	1	Factor =	1	Factor =	1	Factor =	1
Decl.(deg)	Exp.(sec)	Decl.(deg)	Exp.(sec)	Decl.(deg)	Exp.(sec)	Decl.(deg)	Exp.(sec)
0	9.2	0	25.5	0	4.4	0	2.3
5	9.2	5	25.6	5	4.4	5	2.3
10	9.3	10	25.9	10	4.4	10	2.3
15	9.5	15	26.4	15	4.5	15	2.4
20	9.8	20	27.1	20	4.6	20	2.4
25	10.1	25	28.1	25	4.8	25	2.5
30	10.6	30	29.4	30	5.0	30	2.6
35	11.2	35	31.1	35	5.3	35	2.8
40	12.0	40	33.2	40	5.7	40	3.0
45	13.0	45	36.0	45	6.2	45	3.2
50	14.3	50	39.6	50	6.8	50	3.6
55	16.0	55	44.4	55	7.6	55	4.0
60	18.3	60	50.9	60	8.7	60	4.6
65	21.7	65	60.3	65	10.3	65	5.4
70	26.8	70	74.5	70	12.8	70	6.7
75	35.4	75	98.4	75	16.9	75	8.9
80	52.8	80	146.6	80	25.1	80	13.2
85	105.2	85	292.2	85	50.1	85	26.3

아래 그래프는 50mm에 한해서 이미지 크기(픽셀 사이즈)에 따른 노출시간 변화